La soluzione dell'equazione (a+b)/a=a/b dà il valore numerico di questo rapporto, che è F=1,618... Ma si può ottenere la sezione aurea anche per via grafica, grazie ad una elementare costruzione geometrica: a partire da una lunghezza AB, tracciando la perpendicolare BC di lunghezza pari ad AB/2, e la diagonale AC, con due semplici ribaltamenti si individua il punto E, che divide la lunghezza AB iniziale nelle lunghezze AE = AB/F e BE = AE/F = AB/F².

Dall'elevazione a potenza del valore F è originata una progressione molto particolare, la serie F (...1/F², 1/F, 1, F, F², ...), le cui qualità si presentano in maniera davvero straordinaria. Essa gode infatti della singolare proprietà per la quale ogni termine equivale alla somma dei due precedenti, proprietà che possiamo esprimere con la formula: F ⁿ=F ^n-1+F n-2 (es: F³ = F² + F). I termini della serie F crescono inoltre secondo una progressione che è allo stesso tempo di natura aritmetica e geometrica, mantenendo invariato il rapporto tra due termini consecutivi, così che: F ⁿ / F ^n-1 = F (es: F³/F² = F).

Dall'analisi di alcuni importanti edifici possiamo supporre che la serie F fosse già nota dalla civiltà egizia, almeno nella sua approssimazione per numeri interi, conosciuta oggi come serie di Fibonacci:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...

dove ognuno dei termini è somma dei due precedenti, e dove il rapporto tra ogni successiva coppia di termini rappresenta l'approssimazione, via via più precisa, del valore F. Il celebre matematico italiano Leonardo di Pisa, detto Fibonacci, che nel xiii secolo d.C. introdusse in Europa le cifre arabe, in realtà altro non fece che riscoprire, attraverso l'intermediario della scienza araba, la serie che porta il suo nome.

Sicuramente la sezione aurea doveva essere nota ai pitagorici, dal momento che essa si genera ripetutamente tra le proporzioni del loro simbolo segreto, il pentagono stellato. Ma è facile incontrare la sezione aurea in molte forme di vita organica, nella struttura geometrica di un fiore, di un guscio di conchiglia o, soprattutto, nelle proporzioni del nostro corpo, dalle dimensioni più grandi a quelle più piccole. Tra le forme del mondo naturale uno degli esempi più chiari è forse quello del fiore di girasole, i cui semi sono disposti secondo una doppia serie di spirali, normalmente in numero di 34 e 55, ma che saltano improvvisamente a 55 e 89, o addirittura 89 e 144, quando il fiore è particolarmente sviluppato. Compare lo stesso disegno su una comune margherita da campo, che solitamente presenta due corone di 21 e 34 semi, oppure sul fondo di una pigna, con una doppia serie di 8 e 13 spirali (5 e 8 in quelle più piccole) che si avvolgono in senso opposto.

Fig. 4. La serie di Fibonacci nel fiore di girasole

 

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